\documentstyle[farsi,emlines2]{article}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{22.2cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0mm}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\baselineskip}{1mm}

\newtheorem{pretheorem}{{\bf �̉��� }}
\renewcommand{\thepretheorem}{{\arabic{pretheorem}}}
\newenvironment{theorem}{\begin{pretheorem}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{pretheorem}}

\newtheorem{prelemma}{{\bf �� }}
\renewcommand{\theprelemma}{{\arabic{prelemma}}}
\newenvironment{lemma}{\begin{prelemma}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{prelemma}}

\newtheorem{preexample}{{\bf ������ }}
\renewcommand{\thepreexample}{{\arabic{preexample}}}
\newenvironment{example}{\begin{preexample}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{preexample}}

\newtheorem{preprob}{{\bf ��Ɖ\hamze �� }}
\renewcommand{\thepreprob}{{\arabic{preprob}}}
\newenvironment{prob}{\begin{preprob}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{preprob}}

\newtheorem{preprobb}{{\bf ��Ɖ\hamze �� }}
\renewcommand{\thepreprobb}{}
\newenvironment{probb}{\begin{preprobb}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{preprobb}}

\newtheorem{preconj}{{\bf ���� }}
\renewcommand{\thepreconj}{}
\newenvironment{conj}{\begin{preconj}{\hspace{-0.5em} {\bf.}}}{\end{preconj}}

\newenvironment{prop}{\ \\[3mm]{\bf �������.} \rm }{\\[-5mm]}
\newenvironment{proof}{\ \\[3mm]{\bf �������.} \rm }{\hfill{\InE{}$\Box$\EnE{}} \\[1mm]}
\newenvironment{solution}{\ \\[3mm]{\bf ���.} \rm }{\hfill{\InE{}$\Box$\EnE{}} \\[1mm]}

\title{��\kasre � ���������� ��� �����\kasre � ���ډ����މ��\footnote{\InE{}Transversal\EnE{}}���\kasre � ������щ� �� ���ٍ�����\kasre � ����\kasre � ��\kasre � \InE{}$K_n$\EnE{}}
\author{������� ���ԉ�����\quad 䉱�����܉� ����މ������}
\date{}
\begin{document}
\setcounter{page}{0}
\maketitle
\begin{abstract}
�������� ������ � �������\kasre � ������ ��� ����� ��؉� �� ���󉰗����� � ������¢������ ���������
���������� �����������, �� ���� ��։�� ��� ��㉑���\kasre � ����������\kasre � ������މ��\kasre � ���䉵�� �
���ډ����މ�� ������ ���������, ����� ����� ��� ���ꉵ�\kasre � ����� ���ډ����މ�� �� ���
\InE{}$K_n$\EnE{} ������ ���������.
\end{abstract}
\section{����������\kasre � ������މ��\kasre � ���䉵�� � ���ډ����މ��}
��� ����������� ��� ��� ������މ��� ����� ���� ��� ��\kasre � �������� \InE{}$K_n$\EnE{} ��� \InE{}$n-1$\EnE{} ��Ή���\kasre �
���. �̉���� ��ȉ����� ����� ����  ��� ��� \InE{}$n>4$\EnE{} ���, �������� \InE{}$K_n$\EnE{} 쉑��\kasre � ���ٍ������
��� \InE{}$n-1$\EnE{} ���� ����. ��\kasre � �����\kasre � ��� ��މ���� �� ���� ���ٍ������)�����������( �� \kasre �\kasre �
���� ����� ����:
\begin{lemma}
��� ���� ��� \InE{}$n>4$\EnE{} ���, �������� \InE{}$K_n$\EnE{} 쉑��\kasre � ���ٍ������ ��� \InE{}$n-1$\EnE{} ���� ����.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� \InE{}$K_n$\EnE{} �� ��� 䉀����\kasre � ����މ�䉂� \InE{}$\{\infty,0,1,2,\dots,n-2\}$\EnE{} ��މ��������� �������.
��� ���ٍ������ �� \InE{}$K_n$\EnE{} ��� ���� ����� ������ �������: �������� ���
���\kasre � \InE{}$i$\EnE{} )\InE{}$0\leq i\leq n-2$\EnE{}(, 䉱�������� ��
$$\{\{\infty,i\},\{i-1,i+1\},\{i-2,i+2\},\ldots,
\{i-\frac{n}{2}+1,i+\frac{n}{2}-1\}\}\pmod{n-1}$$
��� ���� ���ٍ������, ���ٍ�����\kasre � ���䉵�� ����������� � ���� ��\kasre � \InE{}$\infty$\EnE{}
�� ����� ��� ������ �� ������ � ������� 0 ��� \InE{}$n-2$\EnE{} �� ��� ꉁ���\kasre � ����� ��� ������\kasre �
������ ��ډ������, �������� ��� ���� \InE{}$i$\EnE{} �������� ��� �����  ����� �� ��� ��\kasre � \InE{}$i$\EnE{}
���� ����� � �܉��� �������� �މ�� ��� ��. �� ��������� ���� \InE{}$n-1$\EnE{} �¢ ���� �� ���� ��
������� ��މ���� ��������� ���� :
\begin{enumerate}
\item ��� ��� �މ�� ��������,  ������ ����� ��؉� �� ����� ���\kasre � ������)��� ��� �� \InE{}$\infty$\EnE{}
����( � ���ډ�� ���\kasre � 艃�������� ����.
\item ��� ��� ������ ��������,  �� ���� ����� ��� �� ���\kasre � 艃�������� ��Ɖ�����.
\end{enumerate}
��މ������� ����� �� ���\kasre � ������ ��މ���� ����Ɖ����� � ���� ω�\kasre � ��� ���\kasre � 艃�������� �� �����
1 �������ꉂ� �����\kasre � ������ ����\kasre � ��� ��Ɖ���� ��ډ������  ��� ������\kasre � ������ ��� ��\kasre � ���� ��
��� ��\kasre � ���ډ� ���� ����� � ω�\kasre � �������� ������ �� ��ԉ� �� ��щ� ��ډ������, ���ډ�� ��� ����
�� �������� ��� ω�� 0 ��� \InE{}$\frac{n}{2}-1$\EnE{}, �� ��� ���� �쉃�։\nasb � ��� �̉� ����, � ��
��������� ����� �� ���\kasre � ��� ω�\kasre � ��ר��� ��މ���� ����Ɖ�����.
\english
\begin{center}
\input{pic1.pic}
\end{center}
\farsi
\end{proof}
%
��� ���ډ����މ�� �� ��� ���ٍ������ ����� ��� ���, ��Ή���\kasre � ��܉� ����  ����� �� �����
�� �� ���\kasre � ��ר����� ��������. ������ ������ ��މ؉� ���ډ����މ������ ������� ��������Ð
�� ��� \InE{}$K_n$\EnE{}, \InE{}$n-1$\EnE{} ����  �������� ��� �� ��� �����. ��މ������� ������ ����
����  ��� ���ٍ������ ����� \InE{}$K_n$\EnE{} ������ ��� ���ډ����މ�� ����. ����\kasre � ����� ���ډ����މ�\kasre �
��������Ð �� ���ٍ������ ���䉵�� ������� ����\kasre � ��� ����. �� ���� ������ ��ȉ��� ��ȉ�� ���� 
\InE{}$K_n$\EnE{} ����� ���ډ����މ�\kasre � ������� ��������Ð ���� � ��� ��� ��� \InE{}$n$\EnE{}������ \InE{}$K_n$\EnE{} 쉑���
��� ��� ���ډ����މ������ ������� ��������Ð ����.
%
\section{���ډ����މ������ ������щ� �� ���� ������� ���䉵�� \InE{}$K_n$\EnE{}}
��� ���ډ����މ�\kasre � ������щ� �� ������� ������� �������: ���ډ����މ����  �� ��� ���� ���
ω�\kasre � 0 � \InE{}$\frac{n}{2}-1$\EnE{} ���� ��� ω�\kasre � ����� ��ȉ؉��� ���� ������.
%
��� ��щ� ������� ����� ��������� ������ \InE{}$n>2$\EnE{}��  \InE{}$K_n$\EnE{} 쉑��\kasre � ��� ��� ����� ���ډ����މ�\kasre �
��������Ð ������ ��� �� ����\kasre � ���ډ����މ������ ������щ� ���� ������� ��� ������� ������� �������:
\begin{theorem}
��� ���� ����� \InE{}$n>2$\EnE{}��, \InE{}$K_n$\EnE{} 쉑��\kasre � ��� ��� ���ډ����މ������ ������щ� ����Ɖ�.
\end{theorem}
\begin{proof}
���������� ��� ���ډ����މ�\kasre � ������щ� \InE{}$\frac{n}{2}-1$\EnE{} ���� ��� ω�\kasre � �����)\InE{}$k$\EnE{}( ���� �
�܉���� �������� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} ��� ������ ���� �����, ��� ������ �������� ��� ω�� \InE{}$k$\EnE{}, \InE{}$n-1$\EnE{}
����  ��� \InE{}$\frac{n}{2}-1$\EnE{} ����Ǖ����� ����Ɖ�, �� ���� �� ���������� ����)����ȉ������ �����\kasre �
���ډ����މ������ ������щ\kasre � ��������Ð� ��މ؉�( ������������ \InE{}$n-2$\EnE{} ���ډ����މ�\kasre � ������щ\kasre � ��������Ð
������� ��������  �� ���� ����� ��� ���� ��� \InE{}$0\leq k\leq \frac{n}{2}-1$\EnE{} �쉃�։\nasb � ���
���� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} �� ����� ���ډ����މ���� ��� ������. ���� ������)\InE{}$n-2$\EnE{}(
���ډ����މ�\kasre � ������щ\kasre � ��������Ð ��� \InE{}$n=6$\EnE{} ����� ����.
\end{proof}
%
\begin{prop}
\InE{}$T_{n,k}$\EnE{} )\InE{}$n$\EnE{} ��� � \InE{}$2k|n-2$\EnE{}( ����� ���� ��� ��Ή���� ��܉� �� \InE{}$K_n$\EnE{}  �� ���\kasre � \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} �
\InE{}$\frac{n}{2}-1$\EnE{} ���� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} ��ȉ؉��� ���� � ��� ��؉\kasre � ���� ����:
$$
\{\{0,\infty\}\}+\{\{i+2jk,i+(2j+1)k\}|1\leq i\leq k,i+(2j+1)k\leq n-2,0
\leq j\leq \frac{n-2}{2k}\}
$$
\end{prop}
%
\begin{theorem}
���� \InE{}$n=4m$\EnE{}, \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ��������� ��� ���ډ����މ�� ����Ɖ� ��� ���� \InE{}$n=4m+2$\EnE{},
\InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ��މ���� ���ډ����މ�� ����.
\end{theorem}
\begin{proof}
�� �Ɖމ\kasre � ��\kasre � ��؉\kasre � ���� ��㉀��� ������ �� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ��ȉ�� ���� ���� ����. �­ ��� ���� ������
��������� \InE{}$\alpha$\EnE{} ������ ��� \InE{}$\alpha=\frac{n-2}{2k}$\EnE{} � �� ��� ������ \InE{}$2k$\EnE{} ��� ����� ����.
�� ������  �������� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} ��މ���������� ��މ���� �������� ��� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ���ډ����މ��
���� ���� � �։� ���� ���\kasre � \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} ��� ����� ���� �� �������� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} ��މ���� ��������.
���� ����� ����� ����� ����� �� ������ ����� ������ �������� ���� ��� ������ �� ��¤���
�������. ��� ������� �������� ���� ������� �쉵�� ����� �މ�� ��� ���� \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} �����
����  \InE{}$\alpha$\EnE{} � \InE{}$k$\EnE{} ��� �� �¢ �������� ���� ���� \InE{}$\alpha$\EnE{} ��� ������ ����� �����
����� 1 ��� \InE{}$\frac{n-2}{2}$\EnE{} � \InE{}$\frac{n-2}{2}+1$\EnE{} ��� \InE{}$n-2$\EnE{} ����� ������ � ����
\InE{}$\alpha$\EnE{} �¢ � \InE{}$k$\EnE{} ��� ������ ��� ����� ������ \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} ��މ�����.
\begin{enumerate}
\item \InE{}$n=4m$\EnE{}: �� ���� ����� \InE{}$2k\alpha = n-2 = 4m-2$\EnE{} ��� \InE{}$k\alpha = 2m-1$\EnE{},
�� ��������� \InE{}$k$\EnE{} � \InE{}$\alpha$\EnE{} �¢ ��Ɖ����� ��� ����� ��މ���� ��� \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} ����� ����
� ��������� ������� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ��� ���ډ����މ�� ����Ɖ�.
\item \InE{}$n=4m+2$\EnE{}: �� ���� ����� \InE{}$2k\alpha = n-2 = 4m$\EnE{} ��� \InE{}$k\alpha = 2m$\EnE{},
�� ��������� ������ ��؉� �� \InE{}$k$\EnE{} � \InE{}$\alpha$\EnE{} ��� ���� ���
����� ��މ���� ��� \InE{}$\{0,\infty\}$\EnE{} ����� ������ � ��������� ������� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ��� ���ډ����މ�� ����.
\end{enumerate}
\english
\begin{center}
\input{pic24.pic}
\input{pic23.pic}
\input{pic22.pic}
\input{pic21.pic}
\end{center}
\farsi
\end{proof}
%
\vspace{-10mm}
\begin{prop}
\InE{}$T_{n,k}^{(i)}$\EnE{}: ��މ�� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ����  ����� �� ��މډ� ��� ����� \InE{}$(n-1)$\EnE{} ��� \InE{}$i$\EnE{} ��މ� ��������.
��� �܉� ��։��� �������� ����  ��� ���� ��� \InE{}$i\in Z$\EnE{}, \InE{}$T_{n,k}^{(i)}$\EnE{} ���ډ����މ�� ���� ���� �
�։� ���� \InE{}$T_{n,k}$\EnE{} ���ډ����މ�� ������.
\end{prop}
%
\begin{lemma}
\InE{}$T_{n,k}^{(i)}$\EnE{} � \InE{}$T_{n,k'}^{(i')}$\EnE{} �� ���ډ����މ�\kasre � ��������Ð ��Ɖ����� ���� �
�։� ���� ������� ��� ���������� ��� ���ډ����މ�� ����� �
\begin{enumerate}
\item \InE{}$k\not = k'$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$i\not=i'$\EnE{}
\item \InE{}$k=k'$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$|i-i'|\equiv k \pmod{n-1}$\EnE{}
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
���� \InE{}$k\not = k'$\EnE{} �� ��������� ������� �������� ���ω�\kasre � �� ���ډ����މ�� �������� \InE{}$\{\infty,i\}$\EnE{} �
\InE{}$\{\infty,i'\}$\EnE{} ��Ɖ�����  ���� \InE{}$i\not=i'$\EnE{}, ���� �� ����� ����Ð ��������� ����. ��� ����
\InE{}$k=k'$\EnE{}, ���� \InE{}$|i-i'|\not\equiv k \pmod{n-1}$\EnE{} ������ �� ���ډ����މ�� ������ �� ���
���� ��� ω�\kasre � \InE{}$k$\EnE{} ������ ��������� ����� ��� �� 艃�� ���߬���� ω��� ������\kasre � \InE{}$T_{n,k}$\EnE{}
�������� ����  ���� ��, ��������Ð ��������� ����.
\end{proof}
%
\begin{theorem}
��� ���� ��� \InE{}$n=4m+2$\EnE{}  \InE{}$n>10$\EnE{}, \InE{}$K_n$\EnE{} ������ 4 ���䉅��� ������ ��։Ɖ���܉�������
\InE{}$\frac{n-2}{2}$\EnE{} ���ډ����މ�\kasre � ������щ\kasre � ��������Ð ����.
\end{theorem}
\begin{proof}
\InE{}$T_{n,1}^{(0)}$\EnE{}, \InE{}$T_{n,1}^{(1)}$\EnE{}, \InE{}$T_{n,2}^{(2)}$\EnE{}, \InE{}$T_{n,2}^{(4)}$\EnE{},
\InE{}$T_{n,\frac{n-2}{2}}^{(3)}$\EnE{}, \InE{}$T_{n,\frac{n-2}{2}}^{(3+\frac{n-2}{2})}$\EnE{},
\InE{}$T_{n,\frac{n-2}{4}}^{(5)}$\EnE{} � \InE{}$T_{n,\frac{n-2}{4}}^{(5+\frac{n-2}{4})}$\EnE{}
��ȉ؉��\kasre � 8 ���ډ����މ�\kasre � ��������Ð ���������. ���� ��� ���� ��� ��։Ɖ���܉��\kasre � \InE{}$\frac{n-2}{2}$\EnE{}
����\kasre � \InE{}$k$\EnE{}, 艃�� �� 1, 2, \InE{}$\frac{n-2}{4}$\EnE{} � \InE{}$\frac{n-2}{2}$\EnE{}, ��� \InE{}$i$\EnE{} ��  ���\kasre �
\InE{}$\{\infty,i\}$\EnE{} �����ԉ��� ��ȉ�� ������ �¢�)������� \InE{}$i$\EnE{}�� ����މ� ����� ���� ��� ����
����� ��������� ������ ��� ���� ��㉀�� ����  \InE{}$n-1$\EnE{} ���ډ����މ�\kasre � ��������Ð ��������� �¢�����(
� \InE{}$T_{n,K}^{(i)}$\EnE{} �� ��� ���ډ����މ�������މ�� �����Ð�����, ���� ������, ��މ�� �����\kasre �
��������� ���� ����.
\end{proof}
%
\begin{center}
\bf ����\kasre � �����\kasre � �����\kasre � ���ډ����މ������ ������� ��������Ð� \\
��� \InE{}$K_n$\EnE{} )\InE{}$t_n$\EnE{}( ��� \InE{}$n$\EnE{}���� ��� \\ \vspace{5mm}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\InE{}$n$\EnE{} & \InE{}$t_n$\EnE{} \\
\hline
2  & 1 \\
4  & 0 \\
6  & 4 \\
8  & 3 \\
01 & \InE{}$\geq  8$\EnE{} \\
21 & \InE{}$\geq 10$\EnE{} \\
41 & \InE{}$\geq 11$\EnE{} \\
61 & \InE{}$\geq 12$\EnE{} \\
81 & \InE{}$\geq 13$\EnE{} \\
02 & \InE{}$\geq 14$\EnE{} \\
22 & \InE{}$\geq 15$\EnE{} \\
42 & \InE{}$\geq 15$\EnE{} \\
62 & \InE{}$\geq 15$\EnE{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%
\begin{thebibliography}{99}
%
\bibitem{} ��� ��\tashdid ��� 䉱����� ����މ������ � �������� ����\tashdid މ� ���������,
{\khabide ���ȉ����� ��� ��Ɖ��� ��މ�����\kasre � �������� ������� ���� 7991}, ����܉�� ���\kasre � �����\kasre �
�������, ���\kasre � ��������, ��މ���� 15, �����\kasre � 7731 � �ʉ܉������� ����Ǖ����, ��މ���� 2,
���Ɖ���\kasre � 7731.
%
\english
\bibitem{m1} Charles J. Colbourn and Jeffrey H. Dinitz,
{\em Latin Squares, MOLs and Orthogonal arrays}, 
The CRC Handbook of Combinatorial Designs.
\farsi
%
\end{thebibliography}
%
\end{document}

